在一节数学实践课上，老师出示了这样一道题，如图1，在锐角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对边分别是a、b、c，请用a、c、∠B表示b2．经过同学们的思考后，甲同学说：要将锐角三角形转化

Question

在一节数学实践课上，老师出示了这样一道题，如图1，在锐角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对边分别是a、b、c，请用a、c、∠B表示b²．

经过同学们的思考后，
甲同学说：要将锐角三角形转化为直角三角形来解决，并且不能破坏∠B，因此可以经过点A，作AD⊥BC于点D，如图2，大家认同；
乙同学说要想得到b²要在Rt△ABD或Rt△ACD中解决；
丙同学说那就要先求出AD=___，BD=___；（用含c，∠B的三角函数表示）
丁同学顺着他们的思路，求出b²=AD²+DC²=___（其中sin²α+cos²α=1）；请利用丁同学的结论解决如下问题：
如图3，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠BAD=60°，AB=4，AD=5．
求AC的长（补全图形，直接写出结果即可）．

Answer 1

∵sinB=(AD)/(AB)，cosB=(BD)/(AB)，
∴AD=AB•sinB=c•sinB，BD=AB•cosB=c•cosB，
CD=BC-BD=a-c•cosB，
则出b²=AD²+DC²═（c•sinB）²+（a-c•cosB）²
=c²sin²B+a²+c²cos²B+2ac•cosB
=c²（sin²B+cos²B）+a²-2ac•cosB
=a²+c²-2ac•cosB．
如图3所示，延长BC，AD交于E，
∵∠B=90°，∠BAD=60°，AB=4，
∴AE=2AB=8，∠E=30°，
∵AD=5，
∴DE=3，
∵∠ADC=∠CDE=90°，
∴CE=2√(3)，
∴AC²=CE²+AE²-2CE•AEcos30°=12+64-2×2√(3)×8×(√(3))/(2)=28，
∴AC=2√(7)．
故答案是：c•sinB，c•cosB；a²+c²-2ac•cosB．