已知函数f（x）=-x+6，x≤23+logax，x>2（a>0且a≠1）（1）若a=2，解不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）的值域是[4，+∞），求实数a的取值范围．

Question

已知函数 f（x）=

-x+6，x≤2

3+logax，x>2

（a>0且a≠1）
（1）若a=2，解不等式f（x）≤5；
（2）若函数f（x）的值域是[4，+∞），求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）∵函数 f（x）=

-x+6，x≤2

3+logax，x>2

（a>0且a≠1），
∴a=2时，f(x)=

-x+6，x≤2

3+log2x，x>2

，
∵f（x）≤5，
∴当x≤2时，-x+6≤5，解得x≥1，∴1≤x≤2；
当x>2时，3+log₂x≤5，解得x≤4，∴2<x≤4．
综上，不等式f（x）<5的解集为{x|1≤x≤4}．…（7分）
（2）∵函数 f（x）=

-x+6，x≤2

3+logax，x>2

（a>0且a≠1）的值域是[4，+∞），
∴当x≤2时，f（x）=-x+6≥4，解得x≤2，∴x=2时，f（x）=-x+6=4；
当x>2时，f（x）=3+log_ax≥4，∴log_ax≥1，
当0<a<1时，x≤a，由x>2，得a≥2，无解；
当a>1时，x≥a，由x>2，得a≤2，∴1<a≤2．
∴实数a的取值范围是（1，2]．…（14分）