如图，在△ABC中，∠A=90°，D是AC上的一点，BD=DC，P是BC上的任一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F为垂足．求证：PE+PF=AB．

Question

如图，在△ABC中，∠A=90°，D是AC上的一点，BD=DC，P是BC上的任一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F为垂足．求证：PE+PF=AB．

Answer 1

证明：过P作PG⊥AB于G，交BD于O，
∵PF⊥AC，∠A=90°，
∴∠A=∠AGP=∠PFA=90°，
∴四边形AGPF是矩形，
∴AG=PF，PG∥AC，
∵BD=DC，
∴∠C=∠GPB=∠DBP，
∴OB=OP，
∵PG⊥AB，PE⊥BD，
∴∠BGO=∠PEO=90°，
在△BGO和△PEO中

∠BGO＝∠PEO

∠GOB＝∠EOP

OB＝OP

∴△BGO≌△PEO，
∴PE=BG，
∵AB=BG+AG，
∴PE+PF=AB．