已知，如图，BC是圆O的直径，A是弦BD延长线上一点，AC⊥BC于点C，切线DE交AC于点E．（1）求证：AE=EC．（2）若AD=DB，OC=5，求切线AC的长．

Question

已知，如图，BC是圆O的直径，A是弦BD延长线上一点，AC⊥BC于点C，切线DE交AC于点E．

（1）求证：AE=EC．
（2）若AD=DB，OC=5，求切线AC的长．

Answer 1

（1）证明：如图，连接CD，
∵AC⊥BC，
∴AC为 O的切线，
∵DE为 的切线，
∴DE=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∵BC为直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠A+∠ECD=90°，∠EDA+∠EDC=90°，
∴∠A=∠EDA，
∴DE=AE，
∴AE=EC；
（2） ∵AD=BD，且CD⊥AB，
∴CD为AB的垂直平分线，
∴AC=BC=2OC=10．