x乘正弦x加余弦x的和在0到2分之π的积分

Question

x乘正弦x加余弦x的和在0到2分之π的积分

Answer 1

∫ x(sin x + cos x)dx
= ∫ x sin x dx + ∫ x cos x dx
= - ∫ x dcos x + ∫ x dsin x
= -x cos x + ∫ cosx dx + x sin x - ∫ sin x dx
= - x cos x + sinx + x sin x + cos x
代入上下限后,得到：
原积分
= - (½π) cos (½π) - 0 + sin (½π) - 0 + (½π) sin (½π) - 0 + cos (½π) - cos 0
= sin (½π) + (½π) sin (½π) - cos 0
= 1 + (½π) sin (½π) - 1
= ½π