已知集合M={1，2，3，…，n}（n∈N*），若集合，且对任意的b∈M，存在ai，aj∈A（1≤i≤j≤m），使得b=λ1ai+λ2aj（其中λ1，λ2∈{﹣1，0，1}），则称集合A为集合M的一个m元基底

Question

已知集合M={1，2，3，…，n}（n∈N*），若集合 ，且对任意的b∈M，存在a _i ，a _j ∈A（1≤i≤j≤m），使得b=λ ₁ a _i +λ ₂ a _j （其中λ ₁ ，λ _{2 ^∈} {﹣1，0，1}），则称集合A为集合M的一个m元基底．
（Ⅰ）分别判断下列集合A是否为集合M的一个二元基底，并说明理由；
①A={1，5}M={1，2，3，4，5}；
②A={2，3}，M={1，2，3，4，5，6}．
（Ⅱ）若集合A是集合M的一个m元基底，证明：m（m+1）≥n；
（III）若集合A为集合M={1，2，3，…，19}的一个m元基底，求出m的最小可能值，并写出当m取最小值时M的一个基底A．

Answer 1

（Ⅰ）①A={1，5}不是M={1，2，3，4，5}的一个二元基底．
理由是3≠λ ₁ ×1+λ ₂ ×5；
②A={2，3}是M={1，2，3，4，5}的一个二元基底．
理由是 1=﹣1×2+1×3，2=1×2+0×3，3=0×2+1×3，
4=1×2+1×2，5=1×2+1×3，6=1×3+1×3．          
（Ⅱ）不妨设a ₁ ＜a ₂ ＜a ₃ ＜…＜a _m ，则形如1×a _i +0×a _j （1≤i≤j≤m）的正整数共有m个；
形如1×a _i +1×a _i （1≤i≤m）的正整数共有m个；
形如1×a _i +1×a _j （1≤i≤j≤m）的正整数至多有  个；
形如﹣1×ai+1×aj（1≤i≤j≤m）的正整数至多有  个．
又集合M={1，2，3，…，n}（n∈N*），
含n个不同的正整数，A为集合M的一个m元基底．
故m+m+  +  ≥n，即m（m+1）≥n
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知m（m+1）≥19，所以m≥4．
当m=4时，m（m+1）﹣19=1，
即用基底中元素表示出的数最多重复一个…*
假设A=a ₁ ，a ₂ ，a ₃ ，，a ₄ 为M={1，2，3，…，19}的一个4元基底，
不妨设a ₁ ＜a ₂ ＜a ₃ ＜a ₄ ，则a ₄ ≥10．
当a ₄ =10时，有a ₃ =9，这时a ₂ =8或7．
如果a ₂ =8，则由1=10﹣9，1=9﹣8，18=9+9，18=10+8，这与结论*矛盾．
如果a ₂ =7，则a ₁ =6或5．
易知A={6，7，9，10}和A={5，7，9，10}都不是M={1，2，3，…，19}的4元基底，矛盾．当a ₄ =11时，有a ₃ =8，这时a ₂ =7，a ₁ =6，
易知A={6，7，8，11}不是M={1，2，3，…，19}的4元基底，矛盾．
当a ₄ =12时，有a ₃ =7，这时a ₂ =6，a ₁ =5，
易知A={5，6，7，12}不是M={1，2，3，…，19}的4元基底，矛盾．
当a ₄ =13时，有a ₃ =6，a ₂ =5，a ₁ =4，
易知A={4，5，6，13}不是M={1，2，3，…，19}的4元基底，矛盾．
当a ₄ =14时，有a ₃ =5，a ₂ =4，a ₁ =3，
易知A={3，4，5，14}不是M={1，2，3，…，19}的4元基底，矛盾．
当a ₄ =15时，有a ₃ =4，a ₂ =3，a ₁ =2，
易知A={2，3，4，15}不是M={1，2，3，…，19}的4元基底，矛盾．
当a ₄ =16时，有a ₃ =3，a ₂ =2，a ₁ =1，
易知A={1，2，3，16}不是M={1，2，3，…，19}的4元基底，矛盾．
当a ₄ ≥17时，A均不可能是M的4元基底．
当m=5时，M的一个基底A={1，3，5，9，16}．
综上所述，m的最小可能值为5．