如图，点A、B、C、D、E在O上，AB⊥CB于点B，tanD=3，BC=2，H为CE延长线上一点，且AH=10，CH=52．（1）求证：AH是O的切线；（2）若点D是弧CE的中点，且AD交CE于点F，求EF的长．

Question

如图，点A、B、C、D、E在 O上，AB⊥CB于点B，tanD=3，BC=2，H为CE延长线上一点，且AH=√(10)，CH=5√(2)．

（1）求证：AH是 O的切线；
（2）若点D是弧CE的中点，且AD交CE于点F，求EF的长．

Answer 1

（1）证明：连结AC，
∵AB⊥BC于点B，
∴AC是 O的直径，
∵∠D=∠ACB，
∴tanD=tan∠ACB=3，
在Rt△ABC中，BC=2，
∴AB=3BC=6，
由勾股定理AC=2√(10)，
在△CAH中，由勾股定理逆定理：AC²+AH²=50=CH²，
∴∠CAH=90°即CA⊥AH，
∴AH是 O的切线．
（2） ∵点D是弧CE的中点，
∴∠EAD=∠DAC，
∵AC是 O的直径，
∴AE⊥CH，
∴∠H+∠EAH=∠H+∠HCA=90°，
∴∠EAH=∠HCA，
∴∠EAD+∠EAH=∠DAC+∠HCA，
即∠AFH=∠HAF，
∴HF=HA=√(10)，
∵CA⊥AH，AE⊥CH，
∴AH²=EH•CH可得EH=√(2)，
∴EF=√(10)-√(2)．