∫π0（xsinx）2dx．

Question

∫

π0

（xsinx）²dx．

Answer 1

因为(xsinx)2＝(x2(1−cos2x))/(2)，所以

∫

π0

(xsinx)2dx 
=

∫

π0

(x2)/(2)dx-

∫

π0

(x2cos2x)/(2)dx．
利用分部积分法可得，

∫

π0

(x2cos2x)/(2)dx
=(x2sin2x)/(4)

|

π0

-

∫

π0

(xsin2x)/(2)dx
=0-(−(xcos2x)/(4)

|

π0

+

∫

π0

(cos2x)/(4)dx)
=-(π)/(4)-(sin2x)/(8)

|

π0

=-(π)/(4)，
又因为 

∫

π0

(x2)/(2)dx=(x3)/(6)

|

π0

=(π3)/(6)，
所以

∫

π0

(xsinx)2dx=(π3)/(6)+(π)/(4)

∫

π(π)/(2)

(xsinx)2dx 
=-

∫

0(π)/(2)

(π−t)2sin2(π−t)2dt
=

∫

(π)/(2)0

t2sin2tdt+
=

∫	(π)/(2)−(π)/(2)

(t2−πt+(π2)/(4))cos2tdt．