高等数学（求极限部分）如果x->0lim(sin3x^2+x^2f(x))/x^6=0则lim(3+f(x))/x^4=?我得做法是用等价无穷小替换sin3x^2=3x^2,然后约掉x^2,从而结果为0,但是答案是9/2,是对得，我就是搞不明白才发出帖子，这

Question

高等数学（求极限部分）
如果x->0 lim(sin3x^2+x^2f(x))/x^6=0 则lim(3+f(x))/x^4=?
我得做法是用等价无穷小替换sin3x^2=3x^2,然后约掉x^2,从而结果为0,但是答案是9/2,
是对得，我就是搞不明白才发出帖子，这个题目在3-4本参考书上都是一样的 f（x）只是个函数，不需要知道是什么样得，因为只要求后面那个极限用得而已
正确答案我写下来
(sin3x^2+x^2f(x))/x^6=(sin3x^2-3x^2+3x^2+x^2f(x))/x^6
=(sin3x^2-3x^2)/x^6+(3x^2+x^2f(x))/x^6
第二部分是所要求得极限

Answer 1

等价无穷小在乘除的时候是可以任意替换的,完全没问题,但是你是在做加法的时候将sin3x^2替换为3x^2,要知道 等价无穷小是等价而不是"相等无穷小" 如果2个无穷小可以称之为等价 那么他们的差是高阶无穷小而不是0 在做加减法的时候一般不能使用等价无穷小替换
因此将sin3x^2 替换为3x^2 的时候就出了问题了.上面说到等价无穷小在做加减法的时候一般不能替换 也有可以替换的时候:两个同阶但不等价的无穷小之差的每一项都可以用与之等价的无穷小代换 例如 当x→0时 tan3x-sinx～3x-x=2x