如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D为BC上一点，在△ADE中，∠E=∠C，∠1=90°-12∠EDC．求证：（1）∠1=∠2；（2）ED=BC+BD．

Question

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D为BC上一点，在△ADE中，∠E=∠C，∠1=90°- (1)/(2) ∠EDC．求证：
（1）∠1=∠2；
（2）ED=BC+BD．

Answer 1

证明：（1）由三角形的外角性质，∠BAD+∠ABD=∠1+∠EDC，
∵∠1=90°- (1)/(2) ∠EDC，
∴∠BAD+90°=90°- (1)/(2) ∠EDC，
∴∠BAD= (1)/(2) ∠EDC，
延长DB至F，使BF=BD，
则AB垂直平分DF，
∴∠BAD= (1)/(2) ∠DAF，AD=AF，
∴∠DAF=∠EDC，∠2=∠F，
在△ADF中，∠F+∠DAF=∠1+∠EDC，
∴∠1=∠F，
∴∠1=∠2；
（2）在△AED和△ACF中，

∠1=∠F

ED=CF

∠E=∠C

，
∴△AED≌△ACF（ASA），
∴ED=CF，
∵CF=BC+BF=BC+DB，
∴ED=BC+BD．