如图，在四面体A-BCD中，F、E、H分别是棱AB、BD、AC的中点，G为DE的中点．（Ⅰ）证明：直线EF∥平面ACD（Ⅱ）证明：直线HG∥平面CEF．

Question

如图，在四面体A-BCD中，F、E、H分别是棱AB、BD、AC的中点，G为DE的中点．

（Ⅰ）证明：直线EF∥平面ACD
（Ⅱ）证明：直线HG∥平面CEF．

Answer 1

（Ⅰ）证明，如右图：
∵E、F分别为BD、BA的中点，EF为△ABD的中位线，
∴EF∥AD 且 EF=(1)/(2)AD，
∵EF⊄平面ACD，AD⊂平面ACD，
∴EF∥平面ACD；
（Ⅱ）证法一：如图，连接BH，BH与CF交于K，连接EK．
∵F、H分别是AB、AC的中点，
∴K是△ABC的重心，
∴(BK)/(BH)=(2)/(3)．
又据题设条件知，(BE)/(BG)=(2)/(3)，
∴(BK)/(BH)=(BE)/(BG)，∴EK∥GH．
∵EK⊂平面CEF，GH⊄平面CEF，
∴直线HG∥平面CEF．

证法二如：图，取CD的中点N，连接GN、HN．
∵G为DE的中点，∴GN∥CE．
∵CE⊂平面CEF，GN⊄平面CEF，∴GN∥平面CEF．
   连接FH，EN
∵F、E、H分别是棱AB、BD、AC的中点，
∴FH∥BC，EN∥BC，FH=(1)/(2)BC，EN=(1)/(2)BC∴FH∥EN，FH=EN
∴四边形FHNE为平行四边形，∴HN∥EF．
∵EF⊂平面CEF，HN⊄平面CEF，
∴HN∥平面CEF．HN∩GN=N，
∴平面GHN∥平面CEF．
∵GH⊂平面GHN，∴直线HG∥平面CEF．