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如图,一张正方形纸板的边长为2cm,将它剪去4个全等的直角三角形(图中阴影部分).设AE=BF=CG=DH=xcm,四边形EFGH的面积为ycm2,(1)求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围;(2)求四
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如图,一张正方形纸板的边长为2cm,将它剪去4个全等的直角三角形(图中阴影部分).设AE=BF=CG=DH=xcm,四边形EFGH的面积为ycm2,
(1)求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围;
(2)求四边形EFGH的面积为3cm2时的x值;
(3)四边形EFGH的面积可以为1.5cm2吗?请说明理由.
(1)求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围;
(2)求四边形EFGH的面积为3cm2时的x值;
(3)四边形EFGH的面积可以为1.5cm2吗?请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵在正方形纸上剪去4个全等的直角三角形,
∴∠AHE=∠DGH,∠DGH+∠DHG=90°,HG=HE,
∵∠EHG=180°-∠AHE-∠DHG,
∴∠EHG=90°,四边形EFGH为正方形,
在△AEH中,AE=x,AH=BE=AB-AE=2-x,∠A=90°,
∴HE2=AE2+AH2=x2+(2-x)2=2x2-4x+4,
正方形EFGH的面积y=HE2=2x2-4x+4,
∵AE,AH不能为负,
∴0≤x≤2,
故y关于x的函数表达式为:y=2x2-4x+4,自变量x的取值范围[0,2].
(2)将y=3代入y=2x2-4x+4中,整理得:2x2-4x+1=0,
解得:x1=1+
,x2=1-
,
故四边形EFGH的面积为3cm2时的x的值为1+
或1-
.
(3)四边形EFGH的面积为:y=2x2-4x+4=2(x-1)2+2,(0≤x≤2),
∵(x-1)2≥0,
∴y≥2,
四边形EFGH的面积不能为1.5cm2.
∴∠AHE=∠DGH,∠DGH+∠DHG=90°,HG=HE,
∵∠EHG=180°-∠AHE-∠DHG,
∴∠EHG=90°,四边形EFGH为正方形,
在△AEH中,AE=x,AH=BE=AB-AE=2-x,∠A=90°,
∴HE2=AE2+AH2=x2+(2-x)2=2x2-4x+4,
正方形EFGH的面积y=HE2=2x2-4x+4,
∵AE,AH不能为负,
∴0≤x≤2,
故y关于x的函数表达式为:y=2x2-4x+4,自变量x的取值范围[0,2].
(2)将y=3代入y=2x2-4x+4中,整理得:2x2-4x+1=0,
解得:x1=1+
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故四边形EFGH的面积为3cm2时的x的值为1+
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(3)四边形EFGH的面积为:y=2x2-4x+4=2(x-1)2+2,(0≤x≤2),
∵(x-1)2≥0,
∴y≥2,
四边形EFGH的面积不能为1.5cm2.
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