如图，已知在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在边BC上，作∠DAF=90°，且AF=AD，过点F作EF∥AD，且EF=AF，联结CF，CE．（1）求证：FC⊥BC；（2）如果BD=AC，求证：点C在线段DE的垂直平分线上．

Question

如图，已知在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在边BC上，作∠DAF=90°，且AF=AD，过点F作EF∥AD，且EF=AF，联结CF，CE．

（1）求证：FC⊥BC；
（2）如果BD=AC，求证：点C在线段DE的垂直平分线上．

Answer 1

（1）∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC，
即∠BAD=∠CAF，
又∵AB=AC，AD=AF，
∴△ABD≌△ACF，
∴∠B=∠ACF，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠ACF=∠B=45°，
∴∠BCF=90°，
∴FC⊥BC；
（2）∵△ABD≌△ACF，
∴BD=FC，
又∵BD=AC，
∴AC=FC，
∴∠CAF=∠CFA，
∵∠DAF=90°，EF∥AD，
∴∠DAF=∠AFE=90°，
∴∠DAC=∠EFC，
∵AD=AF，EF=AF，
∴AD=FE，
∴△ADC≌△FEC，
∴CD=CE，
∴点C在线段DE的垂直平分线上．