如图△ABG中，∠ABG=90°，以AB为直径作O交于D点，D是弧BC的中点，过D作AC的垂线，垂足为E，ED的延长线交BG于F．（1）求证：BF=GF；（2）连接BC交AG于H，若2BH=3CH，求tan∠G的值．

Question

如图△ABG中，∠ABG=90°，以AB为直径作 O交于D点，D是弧BC的中点，过D作AC的垂线，垂足为E，ED的延长线交BG于F．

（1）求证：BF=GF；
（2）连接BC交AG于H，若2BH=3CH，求tan∠G的值．

Answer 1

（1）∵D是弧BC的中点，
∴

CD

=

BD

，
∴∠1=∠2，
∵OA=OD，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AE∥OD，
∴∠ODF=∠E=90°，
在Rt△DOF与Rt△OBF中，

OD=OB

OF=OF

，
∴Rt△DOF≌Rt△OBF，
∴∠4=∠5=(1)/(2)∠DOB，
∵∠DOB=∠2+∠3，
∴∠2=(1)/(2)∠DOB，
∴∠2=∠5，
∴AD∥OF，
∵AO=BO，
∴BF=FG；
（2）连接BD，OD交BC于P，
∵AB是 O的直径，
∴BC⊥AE，BD⊥AG，
∴BC∥EF，
∴∠5=∠DHP，
∵∠1+∠5=∠G+∠2=90°，
∴∠5=∠G，
∵∠5=∠6，
∴G=∠DHP，
∴BG=BH=3m，
∵△AED∽△ABG，
∴(AD)/(AG)=(DE)/(BG)=(5)/(6)，
∴AD：DG=5：1，
设AD=5k，DG=k，
∴BD²=AD•DG=5k²，
∴BD=√(5)k，
∴tan∠G=(BD)/(DG)=(√(5)k)/(k)=√(5)．