求级数的和：∑（n=1,∞）((-1)^n/(2n-1))*(3/4)^n具体步骤谢谢!

Question

求级数的和：∑（n=1,∞）( (-1)^n/(2n-1) ) * (3/4)^n 具体步骤谢谢!

Answer 1

考虑级数：
∑(n=1,∞)(-1)^n/(2n-1)*x^(2n-1)
逐项求导得：
∑(n=1,∞)(-1)^nx^(2n-2)=-1/(1+x^2)
积分得：
∑(n=1,∞)(-1)^n/(2n-1)*x^(2n-1)=-arctanx
令x=√3/2,代入：
∑(n=1,∞)(-1)^n/(2n-1)*(3/4)^n=-(√3/2)arctan(√3/2)