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已知函数f(x)=2ex-(x-a)2+3,a∈R.(1)若函数y=f(x)的图象在x=0处的切线与x轴平行,求a的值;(2已知函数f(x)=2ex-(x-a)2+3,a∈R.(1)若函数y=f(x)的图象在x=0处的切线与x轴平行
题目详情
已知函数f(x)=2ex-(x-a)2+3,a∈R.(1)若函数y=f(x)的图象在x=0处的切线与x轴平行,求a的值;(2
已知函数f(x)=2ex-(x-a)2+3,a∈R.
(1)若函数y=f(x)的图象在x=0处的切线与x轴平行,求a的值;
(2)若x≥0,f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.
已知函数f(x)=2ex-(x-a)2+3,a∈R.
(1)若函数y=f(x)的图象在x=0处的切线与x轴平行,求a的值;
(2)若x≥0,f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)由f(x)=2ex-(x-a)2+3,得:
f′(x)=2(ex-x+a),
∵y=f(x)在x=0处切线与x轴平行,即在x=0切线斜率为0,
即f′(0)=2(a+1)=0,
∴a=-1;
(2)f′(x)=2(ex-x+a),
令g(x)=2(ex-x+a),则g′(x)=2(ex-1)≥0,
∴g(x)=2(ex-x+a)在[0,+∞)内单调递增,g(0)=2(1+a).
(i)当2(1+a)≥0,即a≥-1时,f′(x)=2(ex-x+a)≥f′(0)≥0,f(x)在
[0,+∞)内单调递增,要想f(x)≥0,只需要f(0)=5-a2≥0,
解得-
≤a≤
,从而-1≤a≤
.
(ii)当2(1+a)<0,即a<-1时,
由g(x)=2(ex-x+a)在[0,+∞)内单调递增知,
存在唯一x0使得g(x0)=2(ex0-x0+a)=0,有ex0=x0-a,
令f′(x0)>0,解得x>x0,
令f′(x0)<0,解得0≤x<x0,
从而f(x)在x=x0处取最小值f(x0)=2ex0-(x0-a)2+3,
又x0=ex0+a,
f(x0)=2ex0-(ex0)2+3=-(ex0+1)(ex0-3),
从而应有f(x0)≥0,即
ex0-3≤0,解得0<x0≤ln3,
由ex0=x0-a可得a=x0-ex0,
有ln3-3≤a<-1.
综上所述,ln3-3≤a≤
.
f′(x)=2(ex-x+a),
∵y=f(x)在x=0处切线与x轴平行,即在x=0切线斜率为0,
即f′(0)=2(a+1)=0,
∴a=-1;
(2)f′(x)=2(ex-x+a),
令g(x)=2(ex-x+a),则g′(x)=2(ex-1)≥0,
∴g(x)=2(ex-x+a)在[0,+∞)内单调递增,g(0)=2(1+a).
(i)当2(1+a)≥0,即a≥-1时,f′(x)=2(ex-x+a)≥f′(0)≥0,f(x)在
[0,+∞)内单调递增,要想f(x)≥0,只需要f(0)=5-a2≥0,
解得-
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(ii)当2(1+a)<0,即a<-1时,
由g(x)=2(ex-x+a)在[0,+∞)内单调递增知,
存在唯一x0使得g(x0)=2(ex0-x0+a)=0,有ex0=x0-a,
令f′(x0)>0,解得x>x0,
令f′(x0)<0,解得0≤x<x0,
从而f(x)在x=x0处取最小值f(x0)=2ex0-(x0-a)2+3,
又x0=ex0+a,
f(x0)=2ex0-(ex0)2+3=-(ex0+1)(ex0-3),
从而应有f(x0)≥0,即
ex0-3≤0,解得0<x0≤ln3,
由ex0=x0-a可得a=x0-ex0,
有ln3-3≤a<-1.
综上所述,ln3-3≤a≤
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