如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，过点A作AE⊥CD于点E，交对角线BD于点F，过点F作FG⊥AD于点G．（1）求证：BF=AE+FG；（2）若AB=2，求四边形ABFG的面积．

Question

如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，过点A作AE⊥CD于点E，交对角线BD于点F，过点F作FG⊥AD于点G． 
（1）求证：BF=AE+FG；
（2）若AB=2，求四边形ABFG的面积．

Answer 1

（1）证明：连结AC，交BD于点O．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠ABC=∠ADC，∠4=(1)/(2)∠ABC，∠2=(1)/(2)∠ADC，AC⊥BD，
∵∠ABC=60°，
∴∠2=∠4=(1)/(2)∠ABC=30°，
又∵AE⊥CD于点E，
∴∠AED=90°，
∴∠1=30°，
∴∠1=∠4，∠AOB=∠DEA=90°，
∴△ABO≌△DAE，
∴AE=BO．
又∵FG⊥AD于点G，
∴∠AOF=∠AGF=90°，
又∵∠1=∠3，AF=AF，
∴△AOF≌△AGF，
∴FG=FO．
∴BF=AE+FG．

（2）∵∠1=∠2=30°，
∴AF=DF．
又∵FG⊥AD于点G，
∴AG=(1)/(2)AD，
∵AB=2，
∴AD=2，AG=1．
∴DG=1，AO=1，FG=(√(3))/(3)，BD=2√(3)，
∴△ABD的面积是√(3)，RT△DFG的面积是(√(3))/(6)
∴四边形ABFG的面积是(5√(3))/(6)．