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微积分解决力与速度成正比的问题物体初速度为v0,如果物体所受合力F=0.25v,v是物体的速度.则物体经过位移d后速度为多少?
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微积分解决力与速度成正比的问题
物体初速度为v0,如果物体所受合力F=0.25v,v是物体的速度.则物体经过位移d后速度为多少?
物体初速度为v0,如果物体所受合力F=0.25v,v是物体的速度.则物体经过位移d后速度为多少?
▼优质解答
答案和解析
所提问题应属于直线运动的.题目缺少一个条件:物体的质量m .
由动量定理得 F* dt =m*dV ,m是物体质量
即 0.25*V dt =m dV
dV / V=dt / (4m)
两边积分,得 lnV=[ t / (4m) ]+C1 ,C1是积分常数
由初始条件:t=0时,V=V0,得 C1=lnV0
得 ln(V / V0)= t / (4m)
V=V0*e^[t / (4m) ]
又因为速度等于位置矢量对时间的一阶导数
V=dS / dt
dS / dt=V0*e^[t / (4m) ]
dS=V0*e^[t / (4m) ] dt
两边积分,得 S=4m*V0*e^[t / (4m) ]+C2 ,C2是积分常数
由初始条件:t=0时,S=0,得 C2=-4m*V0
所以 S=4m*V0*e^[t / (4m) ]-4m*V0
将 V=V0*e^[t / (4m) ] 代入上式
得 S=4m*(V-V0)
当位移S=d时,速度是 V=[ d / (4m) ]+V0
由动量定理得 F* dt =m*dV ,m是物体质量
即 0.25*V dt =m dV
dV / V=dt / (4m)
两边积分,得 lnV=[ t / (4m) ]+C1 ,C1是积分常数
由初始条件:t=0时,V=V0,得 C1=lnV0
得 ln(V / V0)= t / (4m)
V=V0*e^[t / (4m) ]
又因为速度等于位置矢量对时间的一阶导数
V=dS / dt
dS / dt=V0*e^[t / (4m) ]
dS=V0*e^[t / (4m) ] dt
两边积分,得 S=4m*V0*e^[t / (4m) ]+C2 ,C2是积分常数
由初始条件:t=0时,S=0,得 C2=-4m*V0
所以 S=4m*V0*e^[t / (4m) ]-4m*V0
将 V=V0*e^[t / (4m) ] 代入上式
得 S=4m*(V-V0)
当位移S=d时,速度是 V=[ d / (4m) ]+V0
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