如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥AC，且AD=AC，AF⊥BC，交BD于点F，（1）求证：CF⊥BD；（2）作AG⊥BD于G，求证：DF-CF=2AG．

Question

如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥AC，且AD=AC，AF⊥BC，交BD于点F，

（1）求证：CF⊥BD；
（2）作AG⊥BD于G，求证：DF-CF=2AG．

Answer 1

（1）证明：设AC与BD交于点O．
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴AF垂直平分BC，
∴FB=FC，
∴∠ABC=∠ACB，∠FBC=∠FCB，
∴∠ABF=∠ACF，
∵AB=AD，
∴∠ABF=∠ADB=∠ACF，
∵∠AOD=∠FOC，∠DAO+∠AOD+∠D=180°，∠OFC+∠FOC+∠OCF=180°，
∴∠OFC=∠DAO=90°，
∴CF⊥BD．

（2）在DB上截取AM=AF．
∵FB=FC，∠BFC=90°，
∴∠FBC=∠FCB=45°，
∴2∠FAC+2∠FCA=90°，
∴∠FAC+∠FCA=45°，
∵AG⊥BD，CF⊥BD，
∴AG∥CF，
∴∠FCA=∠OAG，
∴∠FAG=∠FAC+∠OAG=∠FAO+∠ACF=45°，
∴∠AFM=∠AMF=∠FAG=∠GAM=45°，
∴∠AMD=∠AFC=135°，AG=FG=GM，
在△ACF和△ADM中，

∠D=∠ACF

∠AMD=∠AFC

AD=AC

，
∴△ACF≌△ADM，
∴DM=CF，
∴DF-CF=DM+2AG-CF=2AG．