如图，已知锐角△ABC的面积为1，正方形DEFG是△ABC的一个内接三角形，DG∥BC，求正方形DEFG面积的最大值．

Question

如图，已知锐角△ABC的面积为1，正方形DEFG是△ABC的一个内接三角形，DG∥BC，求正方形DEFG面积的最大值．

Answer 1

∵过点A作AN⊥BC交DG于点M，交BC于点N，设AN=h，DE=x=MN=DG，
∴(1)/(2)BC•h=1，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，故(DG)/(BC)=(AM)/(AN)，即(x)/((2)/(h))=(h−x)/(h)，
∴x=(2h)/(h2+2)，
设正方形的面积为S，则S=x²=（(2h)/(h2+2)）²=（(2)/(h+(2)/(h))）²=[(2)/((√(h)−√((2)/(h)))2+2√(2))]²≤（(2)/(2√(2))）=(1)/(2)．