如图，已知四边形ABCD是正方形，△AEF是等边三角形，E、F分别位于DC边和BC边上．（1）求∠DAE的度数；（2）若正方形ABCD的边长为1，求等边三角形AEF的面积；（3）将△AEF绕着点E逆时针旋转m

Question

如图，已知四边形ABCD是正方形，△AEF是等边三角形，E、F分别位于DC边和BC边上．

（1）求∠DAE的度数；
（2）若正方形ABCD的边长为1，求等边三角形AEF的面积；
（3）将△AEF绕着点E逆时针旋转m（0<m<180）度，使得点A落在正方形ABCD的边上，求m的值．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，AF=AE，∠B=∠D=90°，
在Rt△ABF与Rt△ADE，

AB=AD

AF=AE

，
∴Rt△ABF≌Rt△ADE，
∴∠DAE=∠BAF
又∠DAE+∠BAF=∠BAD-∠EAF=90°-60°=30°
∴∠DAE=15°；

（2）设BF=x，由（1）可知DE=BF=x，则，CF=CE=1-x
AB²+BF²=AF²，CF²+CE²=EF²，AF=EF，得：1²+x²=2（1-x）²
x₁=2+√(3)，x₂=2-√(3)，
∵0<x<1，
∴x₁=2+√(3) （舍去），x=2-√(3)，
∴S_△AEF=S_{四边形ABCD}-2S_△ABF-S_△EFC=1²-2×(1)/(2)×1×（2-√(3)）-(1)/(2)×（√(3)-1）²=2√(3)-3；

（3）依题意，点A可落在AB边上或BC边上．
当点A落在AB边上时，设此时点A的对应点为M，则EA=EM，
∵∠EAB=75°，
∴∠EMB=75°，
∴m=∠AEM=180°-75°-75°=30°，
当点A落在边BC上时，
∵EA=EF，点A旋转后与点F重合，
∴m=∠AEF=60°，
综上，m=30°或m=60°．