已知函数f(x)满足对于任意实数x∈R,均有f(x)+2f(-x)=ex+2(1e)x+x成立.(1)求f(x)的解析式并求f(x)的最小值;(2)证明:(1n)n+(2n)n+…+(nn)n<ee−1.(n∈N+)
已知函数f(x)满足对于任意实数x∈R,均有f(x)+2f(-x)=ex+2()x+x成立.
(1)求f(x)的解析式并求f(x)的最小值;
(2)证明:()n+()n+…+()n<.(n∈N+)
答案和解析
(1)依题意得
| f(x)+2f(−x)=ex+2()x+x | f(−x)+2f(x)=()x+2ex−x |
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解之得f(x)=ex-x,f′(x)=ex-1,
当x>0时f′(x)>0当x<0时f′(x)<0
∴f(x)在(-∞,0)上递减在(0,+∞)上递增
∴f(x)min=f(0)=1
(2)由(1)得 ex-x≥1恒成立,则ex≥x+1
在ex≥x+1中令x=−(k=1,2,…,n−1)
∴1-≤e−,∴(1−)n≤e−k,
∴(1−)n≤e−1,(1−)n≤e−2,…,(1−)n≤e−(n−1),()n=1,
∴()n+()n+()n+…+()n≤1+e−1+e−2+…+e−(n−1)==e[1−()
作业帮用户
2017-10-04
- 问题解析
- (1)利用已知条件以-x换x,得到方程组,求出函数的解析式,求出函数的导函数,利用函数的单调性求解函数的最大值.
(2)利用(1)的结论,推出ex≥x+1,得到1-≤e−,利用放缩法以及等比数列求和推出结果.
- 名师点评
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- 本题考点:
- 反证法与放缩法;抽象函数及其应用.
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- 考点点评:
- 本题考查函数的导数以及最大值的求法,放缩法证明不等式以及数列求和指数的综合应用,考查分析问题解决问题的能力.
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