已知函数f（x）满足对于任意实数x∈R，均有f（x）+2f（-x）=ex+2（1e）x+x成立．（1）求f（x）的解析式并求f（x）的最小值；（2）证明：(1n)n+(2n)n+…+(nn)n＜ee−1．（n∈N+）

Question

已知函数f（x）满足对于任意实数x∈R，均有f（x）+2f（-x）=e^x+2（(1)/(e)）^x+x成立．
（1）求f（x）的解析式并求f（x）的最小值；
（2）证明：((1)/(n))n+((2)/(n))n+…+((n)/(n))n＜(e)/(e−1)．（n∈N⁺）

Answer 1

（1）依题意得

f(x)+2f(−x)＝ex+2((1)/(e))x+x

f(−x)+2f(x)＝((1)/(e))x+2ex−x

解之得f（x）=e^x-x，f′（x）=e^x-1，
当x＞0时f′（x）＞0当x＜0时f′（x）＜0
∴f（x）在（-∞，0）上递减在（0，+∞）上递增
∴f（x）_min=f（0）=1
（2）由（1）得 e^x-x≥1恒成立，则e^x≥x+1
在e^x≥x+1中令x＝−(k)/(n)(k＝1，2，…，n−1)
∴1-(k)/(n)≤e−(k)/(n)，∴(1−(k)/(n))n≤e−k，
∴(1−(1)/(n))n≤e−1，(1−(2)/(n))n≤e−2，…，(1−(n−1)/(n))n≤e−(n−1)，((n)/(n))n＝1，
∴((n)/(n))n+((n−1)/(n))n+((n−2)/(n))n+…+((1)/(n))n≤1+e−1+e−2+…+e−(n−1)＝(1−((1)/(e))n)/(1−(1)/(e))＝

e[1−((1)/(e))

作业帮用户 2017-10-04

问题解析

（1）利用已知条件以-x换x，得到方程组，求出函数的解析式，求出函数的导函数，利用函数的单调性求解函数的最大值．
（2）利用（1）的结论，推出e^x≥x+1，得到1-(k)/(n)≤e−(k)/(n)，利用放缩法以及等比数列求和推出结果．

名师点评

本题考点：

反证法与放缩法；抽象函数及其应用．

考点点评：

本题考查函数的导数以及最大值的求法，放缩法证明不等式以及数列求和指数的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．

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