已知函数f（x）=lnx，g（x）=（2m+3）x+n，若对任意的x∈（0，+∞），总有f（x）≤g（x）恒成立，记（2m+3）n的最小值为f（m，n），则f（m，n）最大值为（）A.1B.1eC.1e2D.1e

Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=（2m+3）x+n，若对任意的x∈（0，+∞），总有f（x）≤g（x）恒成立，记（2m+3）n的最小值为f（m，n），则f（m，n）最大值为（　　）

A. 1

B.

(1)/(e)

C.

(1)/(e2)

D.

(1)/(√(e))

Answer 1

若对任意的x∈（0，+∞），总有f（x）≤g（x）恒成立，
即为lnx-（2m+3）x-n≤0在x∈（0，+∞）恒成立，
设h（x）=lnx-（2m+3）x-n，则h（x）的最大值不大于0．
由h′（x）=(1)/(x)-（2m+3），
若2m+3≤0，h′（x）>0，h（x）在（0，+∞）递增，h（x）无最大值；
若2m+3>0，则当x>(1)/(2m+3)时，h′（x）<0，h（x）在（(1)/(2m+3)，+∞）递减；
当0<x<(1)/(2m+3)时，h′（x）>0，h（x）在（0，(1)/(2m+3)）递增．
可得x=(1)/(2m+3)处h（x）取得最大值，且为-ln（2m+3）-1-n，
则-ln（2m+3）-1-n≤0，可得n≥-ln（2m+3）-1，
（2m+3）n≥（2m+3）[-ln（2m+3）-1]，
可得f（m，n）=（2m+3）[-ln（2m+3）-1]，
令t=2m+3（t>0），可令k（t）=t（-lnt-1），
k′（t）=-lnt-1-1=-lnt-2，
当t>(1)/(e2)时，k′（t）<0，k（t）在（(1)/(e2)，+∞）递减；
当0<t<(1)/(e2)时，k′（t）>0，k（t）在（0，(1)/(e2)）递增．
可得t=(1)/(e2)处h（t）取得极大值，且为最大值(1)/(e2)（-ln(1)/(e2)-1）=(1)/(e2)．
则f（m，n）最大值为(1)/(e2)．
故选：C．