（2010•南开区二模）如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2，CC1=4，E是BB1上的一点，且EB1=1，D、F、G分别是CC1、B1C1、A1C1的中点，EF与B1D相交于H．（Ⅰ）求证：B1D⊥平面ABD；（Ⅱ）求证：

Question

（2010•南开区二模）如图在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，BC=2，CC₁=4，E是BB₁上的一点，且EB₁=1，D、F、G分别是CC₁、B₁C₁、A₁C₁的中点，EF与B₁D相交于H．
（Ⅰ）求证：B₁D⊥平面ABD；
（Ⅱ）求证：平面EFG∥平面ABD；
（Ⅲ）求平面EG与平面ABD的距离．

Answer 1

（Ⅰ）证明：由直三棱柱的性质，得平面ABC⊥平面BB₁C₁C，
又AB⊥BC，∴AB⊥平面BB₁C₁C，
又B₁D⊂平面BB₁C₁C，
∴AB⊥B₁D，
∵BC=CD=DC₁=B₁C₁=2，
∴在Rt△BCD和Rt△DC₁B₁中，
∠BDC=∠B₁DC₁=45°，
∴∠BDB₁=90°，即B₁D⊥BD，
又AB∩BD=B，
∴B₁D⊥平面ABD．
（Ⅱ）证明：由题意知EB₁=B₁F=1，
∴在Rt△EB₁F中，∠FEB₁=45°，
又∠DBB₁=45°，∴EF∥BD，
∵BD⊂平面ABD，EF不包含于平面ABD，
∴EF∥平面ABD，
∵G、F分别为A₁C₁、B₁C₁的中点，
∴GF∥A₁B₁，又A₁B₁∥AB，
∴GF∥AB，
∵AB⊂平面，GF不包含平面ABD，
∴GF∥平面ABD，
∵EF⊂平面EFG，GF⊂平面EFG，EF∩GF=F，
∴平面EFG∥平面ABD．
（Ⅲ）∵B₁D⊥平面ABD，平面EGF∥平面ABD，
∴B₁D⊥平面EGF，
∴HD为平行平面EFG与ABD之间的距离，
∴HD=B₁D-B₁H=2√(2)-(√(2))/(2)=(3√(2))/(2)．