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已知f（x）是周期为5的连续函数，它在x=0的某个领域内满足关系式f（1+sinx）-3f（1-sinx）=8x+α（x），其中α（x）是当x→0时，比x高阶的无穷小，且f（x）在x=1处可导，求曲线y=f（x）在点（6，f
题目详情
已知f（x）是周期为5的连续函数，它在x=0的某个领域内满足关系式f（1+sinx）-3f（1-sinx）=8x+α（x），其中α（x）是当x→0时，比x高阶的无穷小，且f（x）在x=1处可导，求曲线y=f（x）在点（6，f（6））处的切线方程．
▼优质解答
答案和解析
由题目条件可知
[f(1+sinx)−3f(1−sinx)]＝
[8x+α(x)]
得f（1）-3f（1）=0，故f（1）=0．
又
＝
[
+
]=8
设sinx=t，则有
=
+3
＝4f′(1)
所以f'（1）=2
由于f（x+5）=f（x），所以f（6）=f（1）=0，f'（6）=f'（1）=2
所以切线方程为y=2（x-6），即2x-y-12=0
故切线方程为：2x-y-12=0
| lim |
| x→0 |
| lim |
| x→0 |
得f（1）-3f（1）=0，故f（1）=0．
又
| lim |
| x→0 |
| f(1+sinx)−3f(1−sinx) |
| sinx |
| lim |
| x→0 |
| 8x |
| sinx |
| α(x) |
| x |
| x |
| sinx |
设sinx=t，则有
| lim |
| x→0 |
| f(1+sinx)−3f(1−sinx) |
| sinx |
=
| lim |
| t→0 |
| f(1+t)−f(1) |
| t |
| lim |
| t→0 |
| f(1−t)−f(1) |
| −t |
所以f'（1）=2
由于f（x+5）=f（x），所以f（6）=f（1）=0，f'（6）=f'（1）=2
所以切线方程为y=2（x-6），即2x-y-12=0
故切线方程为：2x-y-12=0
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