（2014•汕头二模）如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB=2，EB=3．（1）求证：DE⊥面ACD平面；（2）设AC=x，V（x）表示三棱锥B-ACE的体积，求函数V（x

Question

（2014•汕头二模）如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB=2，EB=√(3)．
（1）求证：DE⊥面ACD平面；
（2）设AC=x，V（x）表示三棱锥B-ACE的体积，求函数V（x）的解析式及最大值．

Answer 1

（1）证明：∵四边形DCBE为平行四边形，∴CD∥BE，BC∥DE．
∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DC⊥BC．
∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，且DC∩AC=C．
∴BC⊥平面ADC．
∵DE∥BC，∴DE⊥平面ADC；
（2）∵DC⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC．
在Rt△ABE中，AB=2，EB=√(3)．
在Rt△ABC中，∵AC=x，BC=√(4−x2)（0＜x＜2）．
∴S_△ABC=(1)/(2)AC•BC=(1)/(2)x•√(4−x2)，
∴V（x）=V_E-ABC=(√(3))/(6)x•√(4−x2)，（0＜x＜2）．
∵x²（4-x²）≤((x2+4−x2)/(2))2=4，当且仅当x²=4-x²，即x=√(2)时，取等号，
∴x=

作业帮用户 2017-11-05

问题解析

（1）利用直径所对的圆周角为直角，线面垂直的性质即可证明BC⊥平面ACD，再利用平行四边形的性质BC∥ED，得到ED⊥平面ACD；
（2）利用三棱锥的体积计算公式即可得出表达式，再利用基本不等式的性质即可得出体积的最大值．

名师点评

本题考点：

棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．

考点点评：

熟练掌握直径所对的圆周角为直角的性质、线面、面面垂直的判定和性质定理、三棱锥的体积计算公式是解题的关键．

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