小黄准备给长8m，宽6m的长方形客厅铺设瓷砖，现将其划分成一个长方形ABCD区域Ⅰ（阴影部分）和一个环形区域Ⅱ（空白部分），其中区域Ⅰ用甲、乙、丙三种瓷砖铺设，且满足PQ∥AD，如图

Question

小黄准备给长8m，宽6m的长方形客厅铺设瓷砖，现将其划分成一个长方形ABCD区域Ⅰ（阴影部分）和一个环形区域Ⅱ（空白部分），其中区域Ⅰ用甲、乙、丙三种瓷砖铺设，且满足PQ∥AD，如图所示．

（1）若区域Ⅰ的三种瓷砖均价为300元/m²，面积为S（m²），区域Ⅱ的瓷砖均价为200元/m²，且两区域的瓷砖总价为不超过12000元，求S的最大值；
（2）若区域Ⅰ满足AB：BC=2：3，区域Ⅱ四周宽度相等
①求AB，BC的长；
②若甲、丙两瓷砖单价之和为300元/m²，乙、丙瓷砖单价之比为5：3，且区域Ⅰ的三种瓷砖总价为4800元，求丙瓷砖单价的取值范围．

Answer 1

（1）由题意300S+（48-S）200≤12000，
解得S≤24．
∴S的最大值为24．

（2）①设区域Ⅱ四周宽度为a，则由题意（6-2a）：（8-2a）=2：3，解得a=1，
∴AB=6-2a=4，CB=8-2a=6．
②设乙、丙瓷砖单价分别为5x元/m²和3x元/m²，则甲的单价为（300-3x）元/m²，
∵PQ∥AD，
∴甲的面积=矩形ABCD的面积的一半=12，设乙的面积为s，则丙的面积为（12-s），
由题意12（300-3x）+5x•s+3x•（12-s）=4800，
解得s=(600)/(x)，
∵0<s<12，
∴0<(600)/(x)<12，
∴0<x<50，
∴丙瓷砖单价b的范围为0<b<150元/m²．