求二重积分∫∫D（x-y）dxdy，其中D={（x，y）|（x-1）2+（y-1）2≤2，y≥x}．

Question

求二重积分

∫∫

D

（x-y）dxdy，其中D={（x，y）|（x-1）²+（y-1）²≤2，y≥x}．

Answer 1

采用极坐标变换：令x=rcosθ，y=rsinθ（0≤θ＜2π）
由（x-1）²+（y-1）²≤2得r≤2（sinθ+cosθ），
由x≤y得，(π)/(4)≤θ≤(3π)/(4)

∫∫

D

(x−y)dxdy＝

∫	(3π)/(4) (π)/(4)

dθ

∫	2(sinθ+cosθ) 0

(rcosθ−rsinθ)rdr
=

∫	(3π)/(4) (π)/(4)

[(1)/(3)(cosθ−sinθ)•r3

|	2(sinθ+cosθ) 0

]dθ
=

∫	(3π)/(4) (π)/(4)

(8)/(3)(cosθ−sinθ)(sinθ+cosθ)3dθ
=(8)/(3)

∫	(3π)/(4) (π)/(4)

(sinθ+cosθ)3d(sinθ+cosθ)
=(8)/(3)×(1)/(4)(sinθ+cosθ)4

|	(3π)/(4) (π)/(4)

=−(8)/(3)