如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的O分别交AC，BC于点D，E，BC的延长线与O的切线AF交于点F．（1）求证：∠ABC=2∠CAF；（2）若AC=210，CE：EB=1：4，求CE，AF的长．

Question

如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的 O分别交AC，BC于点D，E，BC的延长线与 O的切线AF交于点F．

（1）求证：∠ABC=2∠CAF；
（2）若AC=2√(10)，CE：EB=1：4，求CE，AF的长．

Answer 1

（1）证明：如图，连接BD．
∵AB为 O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠ABD=90°．
∵AF是 O的切线，
∴∠FAB=90°，
即∠DAB+∠CAF=90°．
∴∠CAF=∠ABD．
∵BA=BC，∠ADB=90°，
∴∠ABC=2∠ABD．
∴∠ABC=2∠CAF．

（2） 如图，连接AE．
∴∠AEB=90°．
设CE=x，
∵CE：EB=1：4，
∴EB=4x，BA=BC=5x，AE=3x．
在Rt△ACE中，AC²=CE²+AE²．
即（2√(10)）²=x²+（3x）²．
∴x=2．
∴CE=2，
∴EB=8，BA=BC=10，AE=6．
∵tan∠ABF=(AE)/(EB)=(AF)/(BA)．
∴(6)/(8)=(AF)/(10)．
∴AF=(15)/(2)．