如图，已知PC平分∠MPN，点O是PC上任意一点，PM与O相切于点E，交PC于A、B两点．（1）求证：PN与O相切；（2）如果∠MPC=30°，PE=23，求O的半径．

Question

如图，已知PC平分∠MPN，点O是PC上任意一点，PM与 O相切于点E，交PC于A、B两点．

（1）求证：PN与 O相切；
（2）如果∠MPC=30°，PE=2√(3)，求 O的半径．

Answer 1

（1）证明：连接OE，过O作OF⊥PN，如图所示，
∵PM与圆O相切，
∴OE⊥PM，
∴∠OEP=∠OFP=90°，
∵PC平分∠MPN，
∴∠EPO=∠FPO，
在△PEO和△PFO中，

∠EPO=∠FPO

∠OEP=∠OFP

OP=OP

，
∴△PEO≌△PFO（AAS），
∴OF=OE，
即PN与圆O相切；
（2）在Rt△EPO中，∠MPC=30°，PE=2√(3)，
∴tan30°=(OE)/(PE)=(√(3))/(3)，
∴OE=2．