求一个数学建模简单实例和详细解答过程,选修课作业

Answer 1

椅子能在不平的地面上放稳吗?\x0b把椅子往不平的地面上放,通常只有三只脚着地,放不稳,然而只需挪动几次,就可以使四脚同时着地,放稳了.这看来似乎与数学无关的现象能够用数学语言以表述,并用数学工具来证实吗?
模型假设：对椅子和地面应该作一些必要的假设.\x0b1．椅子四条腿一样长,椅脚与地面接触处可视为一个点,四脚的连线呈正方形.
2．地面高度是连续变化的,沿任何方向都不会出现间断,即地面可视为数学上的连续曲面.
3.对椅脚的间距和椅脚的长度而言,地面是相对平坦的,使椅子在任何位置至少三只脚着地.
这里假设1显然是合理的,假设2相应于给出了椅子能放稳的条件,因为如果地面高度不连续,譬如在有台阶的地方是无法使椅子四脚同时着地的,至于假设3是要排除这样的情况：地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相应的范围内,出现深沟或凸峰,致使三只脚无法同时着地.
模型构成：
这里首先要解决的中心问题是用数学语言把椅子四脚同时着地的条件和结论表示出来.
首先要用变量表示椅子的位置,注意到椅脚连线呈正方形,以中心为对称点,正方形绕中心的旋转正好代表了椅子位置的改变,于是可以用旋转角度这一变量表示椅子的位置.