已知△ABC,∠A,∠B,∠C的对边分别为a、b、c,若1/tanA/2+1/tanC/2=4/tanB/2,=b=4,则a+c

Question

已知△ABC,∠A,∠B,∠C的对边分别为a、b、c,若1/tanA/2+1/tanC/2=4/tanB/2,=b=4,则a+c

Answer 1

1/tan(A/2)=cos(A/2)/sin(A/2)=2cos²(A/2)/[2sin(A/2)cos(A/2)]=(1+cosA)/sinA
同理,1/tan(C/2)=(1+cosC)/sinC 1/(tanB/2)=(1+cosB)/sinB
1/tan(A/2)+ 1/tan(C/2)=4/tan(B/2)
(1+cosA)/sinA +(1+cosC)/sinC=4(1+cosB)/sinB
由正弦定理得
(1+cosA)/a+(1+cosC)/c=4(1+cosB)/b
bc(1+cosA)+ab(1+cosC)=4ac(1+cosB)
bc+bccosA+ab+abcosC=4ac+4accosB
2bc+2bccosA+2ab+2abcosC=8ac+8accosB
由余弦定理得
2bc+b²+c²-a²+2ab+a²+b²-c²=8ac+4(a²+c²-b²)
整理,得
4a²+8ac+4c²-2bc-2ab-6b²=0
2(a+c)²-b(a+c)-3b²=0
(a+c+b)[2(a+c)-3b]=0
a、b、c为三角形边长,a+b+c>0,因此只有2(a+c)=3b
a+c=(3/2)b=(3/2)×4=6