（2014•山东）如图甲所示，间距为d，垂直于纸面的两平行板P，Q间存在匀强磁场，取垂直于纸面向里为磁场的正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示，t=0时刻，一质量为m，带电

Question

（2014•山东）如图甲所示，间距为d，垂直于纸面的两平行板P，Q间存在匀强磁场，取垂直于纸面向里为磁场的正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示，t=0时刻，一质量为m，带电量为+q的粒子（不计重力），以初速度v₀，由Q板左端靠近板面的位置，沿垂直于磁场且平行于板面的方向射入磁场区，当B_n和T_n取某些特定值时，可使t=0时刻入射的粒子经△t时间恰能垂直打在P板上（不考虑粒子反弹），上述m、q、d、v₀为已知量．

（1）若△t=(1)/(2)T_n，求B_n；
（2）若△t=(3)/(2)T_n，求粒子在磁场中运动时加速度的大小；
（3）若B_n=(4mv0)/(qd)，为使粒子仍能垂直打在P板上，求T_n．

Answer 1

（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，
由牛顿第二定律得：qv₀B₀=m(v20)/(R1)    ①
根据题意，由几何知识可知，R₁=d   ②
解得：B₀=(mv0)/(qd)   ③
（2）设粒子的轨道半径为R₂，加速度为a，
由向心加速度公式得：a=(v20)/(R2)   ④
根据题意由几何知识可知，3R₂=d ⑤
解得：a=(3v20)/(d)   ⑥
（3）设粒子的轨道半径为R，周期为T，则T=(2πR)/(v0)    ⑦
由牛顿第二定律得：qv₀B₀=m(v20)/(R)    ⑧
由题意知B₀=(4mv0)/(qd)，代入⑧得
d=4R  ⑨
粒子运动轨迹如图所示，O₁、O₂为圆心，O₁O₂连线与水平方向夹角为θ，
在第个T_B内，只有A、B两个位置才有可能垂直击中P板，且均要求0＜θ＜(π)/(2)，
由题意可知：
((π)/(2)+θ)/(2π)T=(TB)/(2)  ⑩
设经历整个完整TB的个数为n（n=0、1、2、3…）
若在A点击中P板，根据题意由几何关系得：
R+2（R+Rsinθ）n=d⑪
当n=0时，无解； 
当n=1时，联立式得
θ=(π)/(6)（或sinθ=(1)/(2)）⑫
联立⑦⑨⑩⑫式得T=(πd)/(3v0)⑬
当n≥2时，不满足0＜θ＜(π)/(2)的要求 
若在B点击中P板，据题意由几何关系得
R+2Rsinθ+2（R+Rsinθ）n=d⑭
当n=0时，无解；                    
当n=1时，联立⑨⑭式得
θ=arcsin(1)/(4)（或sinθ=(1)/(4)）⑮
联立⑦