设m∈R，在平面直角坐标系中，已知向量，向量，，动点M（x，y）的轨迹为E．（Ⅰ）求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；（Ⅱ）已知m=，证明：存在圆心在原点的圆

Question

设m∈R，在平面直角坐标系中，已知向量 ，向量 ， ，动点M（x，y）的轨迹为E．
（Ⅰ）求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；
（Ⅱ）已知m= ，证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB（O为坐标原点），并求出该圆的方程．

Answer 1

分析：
（1）因为，，，所以，由此根据实数m的取值，能判断该方程所表示曲线的形状．（2）当m=时，轨迹E的方程为，设圆心在原点的圆的一条切线为y=kx+t，解方程组，得x2+4（kx+t）2=4，即（1+4k2）x2+8ktx+4t2-4=0，由此证明存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB（O为坐标原点），并求出该圆的方程．

（1）因为，，，所以，即mx2+y2=1．当m=0时，方程表示两直线，方程为y=±1；当m=1时，方程表示圆；当m＞0且m≠1时，方程表示的是椭圆；当m＜0时，方程表示的是双曲线．（2）当m=时，轨迹E的方程为，设圆心在原点的圆的一条切线为y=kx+t，解方程组，得x2+4（kx+t）2=4，即（1+4k2）x2+8ktx+4t2-4=0，要使切线与轨迹E恒有两个交点A，B，则使△=64k2t2-16（1+4k2）（t2-1）=16（4k2-t2+1）＞0，即4k2-t2+1＞0，即t2＜4k2+1，且y1y2=（kx1+t）（kx2+t）==+t2=，要使，需使x1x2+y1y2=0，即=，所以5t2-4k2-4=0，即5t2=4k2+4且t2＜4k2+1，即4k2+4＜20k2+5恒成立．所以又因为直线y=kx+t为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为，=，所求的圆为．当切线的斜率不存在时，切线为，与交于点或也满足OA⊥OB．综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且．
点评：
本题考查方程所表示曲线形状，考查圆的方程的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意直线和圆锥曲线的位置关系的综合应用．