如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=2，O，M分别为AB，VA的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面VAB（3）求三棱锥V-ABC的体积．

Question

如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=√(2)，O，M分别为AB，VA的中点．

（1）求证：VB∥平面MOC；
（2）求证：平面MOC⊥平面VAB
（3）求三棱锥V-ABC的体积．

Answer 1

（1）证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，
∴OM∥VB，
∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，
∴VB∥平面MOC；
（2）∵AC=BC，O为AB的中点，
∴OC⊥AB，
∵平面VAB⊥平面ABC，OC⊂平面ABC，
∴OC⊥平面VAB，
∵OC⊂平面MOC，
∴平面MOC⊥平面VAB
（3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=√(2)，∴AB=2，OC=1，
∴S_△VAB=√(3)，
∵OC⊥平面VAB，
∴V_C-VAB=(1)/(3)OC•S_△VAB=(√(3))/(3)，
∴V_V-ABC=V_C-VAB=(√(3))/(3)．