如图，已知抛物线C1：y=14x2，圆C2：x2+（y-1）2=1，过点P（t，0）（t>0）作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点．（1）求点A，B的坐标；（2）求△PAB的面积．

Question

如图，已知抛物线C₁：y=(1)/(4)x2，圆C₂：x²+（y-1）²=1，过点P（t，0）（t>0）作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C₁和圆C₂相切，A，B为切点．

（1）求点A，B的坐标；
（2）求△PAB的面积．

Answer 1

（1）由直线PA的斜率存在，设切线PA的方程为：y=k（x-t）（k≠0），联立抛物线，化为x²-4kx+4kt=0，
∵△=16k²-16kt=0，解得k=t，
∴x=2t，∴A（2t，t²）．
圆C₂的圆心D（0，1），设B（x₀，y₀），由题意可知：点B与O关于直线PD得出

(y0)/(2)=-(x0)/(2t)+1

x0t-y0=0

，
∴解得x₀=(2t)/(1+t2)，y₀=(2t2)/(1+t2)．
∴B（(2t)/(1+t2)，(2t2)/(1+t2)）．
（2）由（1）可得：k_AB=(t2-1)/(2t)，直线AB的方程为：y-t²=(t2-1)/(2t)（x-2t），化为（t²-1）x-2ty+2t=0，
∴点P到直线AB的距离d=(|(t2-1)t+2t|)/(√((t2-1)2+(-2t)2))=t，
又|AB|=√(((2t)/(1+t2)-2t)2+((2t2)/(1+t2)-t2)2)=t²．
∴S_△PAB=(1)/(2)t3．