已知函数f（x）=ex-ln（x+m）（Ι）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）＞0．

Question

已知函数f（x）=e^x-ln（x+m）
（Ι）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）＞0．

Answer 1

（Ⅰ）∵f′(x)＝ex−(1)/(x+m)，x=0是f（x）的极值点，∴f′(0)＝1−(1)/(m)＝0，解得m=1．
所以函数f（x）=e^x-ln（x+1），其定义域为（-1，+∞）．
∵f′(x)＝ex−(1)/(x+1)＝(ex(x+1)−1)/(x+1)．
设g（x）=e^x（x+1）-1，则g′（x）=e^x（x+1）+e^x＞0，所以g（x）在（-1，+∞）上为增函数，
又∵g（0）=0，所以当x＞0时，g（x）＞0，即f′（x）＞0；当-1＜x＜0时，g（x）＜0，f′（x）＜0．
所以f（x）在（-1，0）上为减函数；在（0，+∞）上为增函数；
（Ⅱ）证明：当m≤2，x∈（-m，+∞）时，ln（x+m）≤ln（x+2），故只需证明当m=2时f（x）＞0．
当m=2时，函数f′(x)＝ex−(1)/(x+2)在（-2，+∞）上为增函数，且f′（-1）＜0，f′（0）＞0．
故f′（x）=0在（-2，+∞）上有唯一实数根x₀，且x₀∈（-1，0）．
当x∈（-2，x₀）时，f′（x）＜0，当x∈（x₀，+∞）时，f′（x）＞0，
从而当x=x₀时，f（x）取得最小值．
由f′（x₀）=0，得ex0＝(1)/(x0+2)，ln（x₀+2）=-x₀．
故f（x）≥f(x0)＝(1)/(x0+2)+x0=((x0+1)2)/(x0+2)＞0．
综上，当m≤2时，f（x）＞0．