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如图,ABCD是边长为4的正方形,动点P在以AB为直径的圆弧APB上,则的取值范围是.
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如图,ABCD是边长为4的正方形,动点P在以AB为直径的圆弧APB上,则的取值范围是 .
▼优质解答
答案和解析
以AB中点为坐标原点,AB所在直线为x轴建立如图坐标系,可得C(2,4),D(-2,4),P(2cosα,2sinα),得到、坐标,用向量数量积的坐标公式化简,得=16-16sinα,再结合α∈[0,π],不难得到的取值范围.
【解析】
以AB中点为坐标原点,AB所在直线为x轴建立如图坐标系
则圆弧APB方程为x2+y2=4,(y≥0),C(2,4),D(-2,4)
因此设P(2cosα,2sinα),α∈[0,π]
∴=(2-2cosα,4-2sinα),=(-2-2cosα,4-2sinα),
由此可得=(2-2cosα)(-2-2cosα)+(4-2sinα)(4-2sinα)
=4cos2α-4+16-16sinα+4sin2α=16-16sinα
化简得=16-16sinα
∵α∈[0,π],sinα∈[0,1]
∴当α=0或π时,取最大值为16;当α=时,取最小值为0.
由此可得的取值范围是[0,16]
故答案为:[0,16]
【解析】
以AB中点为坐标原点,AB所在直线为x轴建立如图坐标系
则圆弧APB方程为x2+y2=4,(y≥0),C(2,4),D(-2,4)
因此设P(2cosα,2sinα),α∈[0,π]
∴=(2-2cosα,4-2sinα),=(-2-2cosα,4-2sinα),
由此可得=(2-2cosα)(-2-2cosα)+(4-2sinα)(4-2sinα)
=4cos2α-4+16-16sinα+4sin2α=16-16sinα
化简得=16-16sinα
∵α∈[0,π],sinα∈[0,1]
∴当α=0或π时,取最大值为16;当α=时,取最小值为0.
由此可得的取值范围是[0,16]
故答案为:[0,16]
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