三角形ABC,向量m=(cos3/2a,sin3/2a),n=(cos1/2a,sin1/2a)绝对值m+n=根号3,求角a,若b+c=根号3a求三角形的形状

Question

三角形ABC,向量m=(cos3/2a,sin3/2a),n=(cos1/2a,sin1/2a)绝对值m+n=根号3,求角a,若b+c=根号3a求三角形的形状

Answer 1

首先绝对值m+n的平方=(cos3/2a+cos1/2a)的平方+（sin1/2a+sin3/2a)的平方=3
则不妨设cos3/2a为A,cos1/2a为B,sin1/2a为C,sin3/2a为D.（其中A的平方+B的平方=1,
那么(cos3/2a+cos1/2a)的平方+（sin1/2a+sin3/2a)的平方=A的平方+B的平方+C的平方+D的平方+2AB+2CD=2+2（cos3/2a*cos1/2a+sin1/2a*sin3/2a）=2+2cosa=3
那么a=60度
(2)b+c=根号3a
b^2+c^2+2bc=3a^2
cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(2a^2-2bc)/(2bc)=1/2
2a^2=3bc
(b-c)^2=b^2+c^2-2bc=(b+c)^2-4bc=3a^2-4*2a^2/3=a^2/3
b-c=根号3/3a
b=(根号3+根号3/3)/2a=2根号3/3a
c=( 根号3-根号3/3)/2a=根号3/3a