（2014•通州区一模）如图，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD的延长线交于点A，OE∥BD，交BC于点F，交AE于点E．（1）求证：∠E=∠C；（2）当⊙O的半径为3，cosA=45时，

Question

（2014•通州区一模）如图，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD的延长线交于点A，OE∥BD，交BC于点F，交AE于点E．
（1）求证：∠E=∠C；
（2）当⊙O的半径为3，cosA=(4)/(5)时，求EF的长．

Answer 1

（1）证明：连接OB，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠CBD=∠CBO+∠OBD=90°，
∵AE是⊙O的切线，
∴∠ABO=∠ABD+∠OBD=90°，
∴∠ABD=∠CBO，
∵OB、OC是⊙O的半径，
∴OB=OC，
∴∠C=∠CBO，
∵OE∥BD，
∴∠E=∠ABD，
∴∠E=∠C；

（2）∵在Rt△OBA中，cosA=(4)/(5)，OB=3，
∴AB=4，AO=5，
∴AD=2．
∴(AB)/(BE)＝(AD)/(OD)，
∵BD∥OE，
∴(4)/(BE)＝(2)/(3)，
∴BE=6，
∵OE∥BD，
∴∠EFB=∠CBD=∠OBE=90°，
∵在Rt△OBE中，tanE=(OB)/(BE)＝(3)/(6)＝(1)/(2)，
∴在Rt△FBE中，tanE=(FB)/(FE)＝(1)/(2)，
设FB为x，
∵EB²=EF²+BF²
∴6²=（2x）²+x²
∴x=(6√(5))/(5)，
∴EF=(12√(5))/(5)．