若a>b>c,求证1/(a-b)+1/(b-c)>=4/(a-c)用柯西不等式证明.

Question

若a>b>c,求证1/(a-b)+1/(b-c)>=4/(a-c)
用柯西不等式证明.

Answer 1

a>b>c,所以,a-b>0,b-c>0,a-c>0
又a-c=(a-b)+(b-c)
所以,[(a-b)+(b-c)]*[1/(a-b)+1/(b-c)]>=(1+1)^2=4
二边同除以a-c得:
1/(a-b)+1/(b-c)>=4/(a-c)
另外方法,仅供参考:
证明:
(a-c)^2=(a-b+b-c)^2=(a-b)^2+(b-c)^2+2*(a-b)(b-c)
>=2*(a-b)(b-c)+2*(a-b)(b-c)
=4*(a-b)(b-c)
即(a-c)^2>=4*(a-b)(b-c)
又a>b>c
所以(a-c)/(a-b)(b-c)>=4/(a-c)
即(a-b+b-c)/(a-b)(b-c)>=4/(a-c)
所以1/(a-b)+1/(b-c)>=4/(a-c)