设L为逆时针方向的椭圆周x^2/4+y^2/16=1,则∮L(x+2y)dx+(x-y)dy=?

Question

设L为逆时针方向的椭圆周 x^2/4+y^2/16=1,则∮L(x+2y)dx+(x-y)dy=?

Answer 1

用格林公式,设P=x+2y,Q=x-y,则ðQ/ðx=1,ðP/ðy=2,所以积分=∫∫(1-2)dxdy=-∫∫dxdy,而∫∫dxdy为积分区域的面积=π*2*4=8π,所以积分=-8π