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直线y=-x+7与y轴、x轴分别交于A、B两点,抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点,顶点为C,直线AB与抛物线的对称轴交于点D.(1)求A、B坐标,并求抛物线的表达式;(2)若点P以每秒1个单位长度的速
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直线y=-x+7与y轴、x轴分别交于A、B两点,抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点,顶点为C,直线AB与抛物线的对称轴交于点D.![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b812c8fcc3cec3fda0adfe8cd588d43f869427b3.jpg)
(1)求A、B坐标,并求抛物线的表达式;
(2)若点P以每秒1个单位长度的速度从点B沿x轴向点O运动,过P作PF∥CD交直线AB于点E,交抛物线于点F,设点P的运动时间为t秒.
①用含t的代数式表示线段EF的长;当t取何值时线段EF有最大值,求出这个最大值;
②是否存在这样的t值,使得四边形EFCD是平行四边形?若存在则求出t的值;若不存在,请说明理由.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b812c8fcc3cec3fda0adfe8cd588d43f869427b3.jpg)
(1)求A、B坐标,并求抛物线的表达式;
(2)若点P以每秒1个单位长度的速度从点B沿x轴向点O运动,过P作PF∥CD交直线AB于点E,交抛物线于点F,设点P的运动时间为t秒.
①用含t的代数式表示线段EF的长;当t取何值时线段EF有最大值,求出这个最大值;
②是否存在这样的t值,使得四边形EFCD是平行四边形?若存在则求出t的值;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)令x=0,则y=7,
∴A(0,7).
令y=0,则x=7,
∴B(7,0).
把(0,7),(7,0)代入抛物线的解析式为:
,
解得
.
∴抛物线的解析式为:y=-x2+6x+7;
(2)①设P(7-t,0).
∴F(7-t,-t2+8t),E(7-t,t),
∴EF=-t2+8t-t,
即EF=-t2+7t(0≤t≤7),
∵EF=-(t-
)2+
,
∴当t=
时,EF有最大值
;
②抛物线y=-x2+6x+7的解析式变形为:
y=-(x-3)2+16,
∴顶点C(3,16).
当x=3时,y=-3+7,y=4,
∴D(3,4),
∴CD=12,
∴P点在对称轴的右侧.
∵四边形EFCD是平行四边形,
∴CD=EF=12
∴-t2+7t=12,
解得t=3或t=4(舍去)
∴满足条件t的值为3.
∴A(0,7).
令y=0,则x=7,
∴B(7,0).
把(0,7),(7,0)代入抛物线的解析式为:
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/37d3d539b6003af36e27eca9362ac65c1138b65d.jpg)
解得
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/838ba61ea8d3fd1fea9492f3334e251f94ca5f5d.jpg)
∴抛物线的解析式为:y=-x2+6x+7;
(2)①设P(7-t,0).
∴F(7-t,-t2+8t),E(7-t,t),
∴EF=-t2+8t-t,
即EF=-t2+7t(0≤t≤7),
∵EF=-(t-
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/1e30e924b899a901cdbef7f11e950a7b0308f56a.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/2cf5e0fe9925bc31ba42855f5ddf8db1ca1370de.jpg)
∴当t=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/1e30e924b899a901cdbef7f11e950a7b0308f56a.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/2cf5e0fe9925bc31ba42855f5ddf8db1ca1370de.jpg)
②抛物线y=-x2+6x+7的解析式变形为:
y=-(x-3)2+16,
∴顶点C(3,16).
当x=3时,y=-3+7,y=4,
∴D(3,4),
∴CD=12,
∴P点在对称轴的右侧.
∵四边形EFCD是平行四边形,
∴CD=EF=12
∴-t2+7t=12,
解得t=3或t=4(舍去)
∴满足条件t的值为3.
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