在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P是△ABC内一点，且∠PAC+∠PCA=α2，连接PB，试探究PA、PB、PC满足的等量关系．（1）当α=60°时，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，

Question

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P是△ABC内一点，且∠PAC+∠PCA= (α)/(2)，连接PB，试探究PA、PB、PC满足的等量关系．

（1）当α=60°时，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，连接PP′，如图1所示．由△ABP≌△ACP′可以证得△APP′是等边三角形，再由∠PAC+∠PCA=30°可得∠APC的大小为___度，进而得到△CPP′是直角三角形，这样可以得到PA、PB、PC满足的等量关系为___；
（2）如图2，当α=120°时，参考（1）中的方法，探究PA、PB、PC满足的等量关系，并给出证明；
（3）PA、PB、PC满足的等量关系为___．

Answer 1

（1）∵△ABP≌△ACP′，
∴AP=AP′，
由旋转变换的性质可知，∠PAP′=60°，P′C=PB，
∴△PAP′为等边三角形，
∴∠APP′=60°，
∵∠PAC+∠PCA=(60°)/(2)=30°，
∴∠APC=150°，
∴∠P′PC=90°，
∴PP′²+PC²=P′C²，
∴PA²+PC²=PB²，
故答案为：150，PA²+PC²=PB²；
（2）如图2，作将△ABP绕点A逆时针旋转120°得到△ACP′，连接PP′，
作AD⊥PP′于D，
由旋转变换的性质可知，∠PAP′=120°，P′C=PB，
∴∠APP′=30°，
∵∵∠PAC+∠PCA=(120°)/(2)=60°，
∴∠APC=120°，
∴∠P′PC=90°，
∴PP′²+PC²=P′C²，
∵∠APP′=30°，
∴PD=(√(3))/(2)PA，
∴PP′=√(3)PA，
∴3PA²+PC²=PB²；
（3）如图2，与（2）的方法类似，
作将△ABP绕点A逆时针旋转α得到△ACP′，连接PP′，
作AD⊥PP′于D，
由旋转变换的性质可知，∠PAP′=α，P′C=PB，
∴∠APP′=90°-(α)/(2)，
∵∵∠PAC+∠PCA=(α)/(2)，
∴∠APC=180°-(α)/(2)，
∴∠P′PC=（180°-(α)/(2)）-（90°-(α)/(2)）=90°，
∴PP′²+PC²=P′C²，
∵∠APP′=90°-(α)/(2)，
∴PD=PA•cos（90°-(α)/(2)）=PA•sin(α)/(2)，
∴PP′=2PA•sin(α)/(2)，
∴4PA²sin²(α)/(2)+PC²=PB²，
故答案为：4PA²sin²(α)/(2)+PC²=PB²．