如果广义积分1/(x-a)^p(上限为b,下限为a)收敛,则p的范围是多少

Question

如果广义积分1/(x-a)^p(上限为b,下限为a)收敛,则p的范围是多少

Answer 1

分类讨论：
(1)
当p=1时
∫(a,b)dx/(x-a)=lim(c→a+)∫(c,b)dx/(x-a)=lim(c→a+)[ln(b-a)-ln(c-a)]=+∞
(2)
当p＞1时
∫(a,b)dx/(x-a)^p=lim(c→a+)∫(c,b)dx/(x-a)^p=[1/(1-p)]*lim(c→a+)[(b-a)^(1-p)-(c-a)^(1-p)]=+∞
(3)
当p＜1时
∫(a,b)dx/(x-a)^p=lim(c→a+)∫(c,b)dx/(x-a)^p=[1/(1-p)]*lim(c→a+)[(b-a)^(1-p)-(c-a)^(1-p)]=[(b-a)^(1-p)]/(1-p)
综上,当p＜1时收敛.