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(2014•句容市一模)如图,直角坐标系中,以点A(1,0)为圆心画圆,点M(4,4)在⊙A上,直线y=-34x+b过点M,分别交x轴、y轴于B、C两点.(1)求⊙A的半径和b的值;(2)判断直线BC与⊙A的
题目详情
(2014•句容市一模)如图,直角坐标系中,以点A(1,0)为圆心画圆,点M(4,4)在⊙A上,直线y=-
x+b过点M,
分别交x轴、y轴于B、C两点.
(1)求⊙A的半径和b的值;
(2)判断直线BC与⊙A的位置关系,并说明理由;
(3)若点P在⊙A上,点Q是y轴上C点下方的一点,当△PQM为等腰直角三角形时,请直接写出满足条件的点Q坐标.
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a8014c086e061d954e87db8978f40ad163d9caba.jpg)
(1)求⊙A的半径和b的值;
(2)判断直线BC与⊙A的位置关系,并说明理由;
(3)若点P在⊙A上,点Q是y轴上C点下方的一点,当△PQM为等腰直角三角形时,请直接写出满足条件的点Q坐标.
▼优质解答
答案和解析
(1)连接AM,作MD⊥OB,由点M(4,4),A(1,0),
∴|AM|=
=5,
即,⊙A的半径为5;
把点M(4,4)代入y=-
x+b得,4=-
×4+b,
解得,b=7;
(2)由图得,0=-
x+7,得x=
,
即OB=
,
∴AB=
-1=
,BD=
-4=
,
∴AM2+MB2=52+42+(
)2=69
,
AB2=(
)2=69
,![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/203fb80e7bec54e795c6f5afba389b504fc26a5d.jpg)
∴∠AMB=90°,
∴直线BC与⊙A相切;
(3)①当∠PQM=90°时,
∵M(4,4),
∴∠MOB=45°,
∴过点M作MP⊥OB交⊙O于点P,
点Q与点O重合,
∴∠PQM=90°;
∴Q(0,0);
②过点M作MN⊥y轴,MD⊥x轴,
当△MNQ≌△MDP时,∠PMQ=90°,
∴NQ=PD=2,MQ=MP,
∴Q(0,2);
③当∠QPM=90°时,P在y的左方,如图,设P(m,n),Q(0,b)可得:
(I)4-m=n-b,(II)4-n=-m,(III)(1-m)2+n2=52,
解方程组得,b=2,b=-8(b=2也符合条件,虽与②中b同,但直角不同),
第二情况:P在y的右方,同理得:
(I)m-4=n-b,(II)4-n=m,(III)(1-m)2+n2=52,
解方程组得,b=3+
(舍去),b=3-
∴|AM|=
(4−1)2+42 |
即,⊙A的半径为5;
把点M(4,4)代入y=-
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解得,b=7;
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/03087bf40ad162d9bb2f8ead12dfa9ec8b13cdba.jpg)
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即OB=
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∴AB=
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∴AM2+MB2=52+42+(
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AB2=(
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/203fb80e7bec54e795c6f5afba389b504fc26a5d.jpg)
∴∠AMB=90°,
∴直线BC与⊙A相切;
(3)①当∠PQM=90°时,
∵M(4,4),
∴∠MOB=45°,
∴过点M作MP⊥OB交⊙O于点P,
点Q与点O重合,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/2e2eb9389b504fc27d755fb4e6dde71190ef6d5d.jpg)
∴Q(0,0);
②过点M作MN⊥y轴,MD⊥x轴,
当△MNQ≌△MDP时,∠PMQ=90°,
∴NQ=PD=2,MQ=MP,
∴Q(0,2);
③当∠QPM=90°时,P在y的左方,如图,设P(m,n),Q(0,b)可得:
(I)4-m=n-b,(II)4-n=-m,(III)(1-m)2+n2=52,
解方程组得,b=2,b=-8(b=2也符合条件,虽与②中b同,但直角不同),
第二情况:P在y的右方,同理得:
(I)m-4=n-b,(II)4-n=m,(III)(1-m)2+n2=52,
解方程组得,b=3+
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作业帮用户
2017-09-23
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