如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，AP，CB的延长线相交于点D．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）若∠PAC=90°，AB=23，求PD的长．

Question

如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，AP，CB的延长线相交于点D．

（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若∠PAC=90°，AB=2√(3)，求PD的长．

Answer 1

（1）证明：∵∠ABC=∠APC，∠BAC=∠BPC，∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形．
（2） ∵△ABC是等边三角形，AB=2√(3)，
∴AC=BC=AB=2√(3)，∠ACB=60°．
在Rt△PAC中，∠PAC=90°，∠APC=60°，AC=2√(3)，
∴AP=(AC)/(tan60°)=2．
在Rt△DAC中，∠DAC=90°，AC=2√(3)，∠ACD=60°，
∴AD=AC•tan∠ACD=6．
∴PD=AD-AP=6-2=4．