如图所示，两个非共线向量OA，OB的夹角为θ，M、N分别为OA与OB的中点，点C在直线MN上，且OC=xOA+yOB（x，y∈R），则x2+y2的最小值为（）A．24B．18C．22D．12

Question

如图所示，两个非共线向量

OA

，

OB

的夹角为θ，M、N分别为OA与OB的中点，点C在直线MN上，且

OC

=x

OA

+y

OB

（x，y∈R），则x²+y²的最小值为（　　）

A．(√(2))/(4)
B．(1)/(8)
C．(√(2))/(2)
D．(1)/(2)

Answer 1

解法一：特殊值法，当θ=90°，|

OA

|=|

OB

|=1时，建立直角坐标系，
∴

OC

=x

OA

+y

OB

得x+y=(1)/(2)，所以x²+y²的最小值为原点到直线的距离的平方；
解法二：因为点C、M、N共线，所以

OC

＝λ

OM

+μ

ON

，有λ+μ=1，
又因为M、N分别为OA与OB的中点，
所以

OC

＝λ

OM

+μ

ON

=(1)/(2)λ

OA

+(1)/(2)μ

OB

∴x+y=(1)/(2)λ+(1)/(2)μ＝(1)/(2)
原题转化为：当x+y＝(1)/(2)时，求x²+y²的最小值问题，
∵y=(1)/(2)−x
∴x²+y²=x2+((1)/(2)−x)2=2x2−x+(1)/(4)
结合二次函数的性质可知，当x=(1)/(4)时，取得最小值为(1)/(8)
故选B