如图所示，圆锥的轴截面为等腰直角△SAB，Q为底面圆周上一点．①若QB的中点为C，OH⊥SC，求证OH⊥平面SBQ；②如果∠AOQ=60°，QB＝23，求此圆锥的全面积．

Question

如图所示，圆锥的轴截面为等腰直角△SAB，Q为底面圆周上一点．
①若QB的中点为C，OH⊥SC，求证OH⊥平面SBQ；
②如果∠AOQ=60°，QB＝2√(3)，求此圆锥的全面积．

Answer 1

①连接OC，则
∵OQ=OB，C为QB的中点，∴OC⊥QB
∵SO⊥平面ABQ，BQ⊂平面ABQ
∴SO⊥BQ，结合SO∩OC=0，可得BQ⊥平面SOC
∵OH⊂平面SOC，∴BQ⊥OH
∵OH⊥SC，SC、BQ是平面SBQ内的相交直线
∴OH⊥平面SBQ；
②∵∠AOQ=60°，QB＝2√(3)，
∴△BOQ中，∠BOQ=120°，可得OQ=OB=(√(3))/(3)QB=2
∵圆锥的轴截面为等腰直角△SAB，
∴圆锥的底面半径为2，高SO=2，可得母线SA=2√(2)
因此，圆锥的侧面积为S_侧=π×2×2√(2)=4√(2)π
∴此圆锥的全面积为S_侧+S_底=4√(2)π+π×2²=（4+4√(2)）π