设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵,若A^3＝0,则E－A和E＋A的行列式是否为0

Question

设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵,若A^3＝0,则E－A和E＋A的行列式是否为0

Answer 1

E－A和E＋A的行列式都不为0

设B＝E－A
则,A＝E－B
因为,A^3＝0
则,(E－B)^3＝0
即,B^3－3B^2＋3B＝E
即,B(B^2－3B＋3E)＝E
所以,B为可逆矩阵
则,B的行列式不为0
所以,E－A的行列式不为0

同理,E＋A的行列式也不为0